Pertanyaan :
1. Jika [tex]\frac{SinA}{SinB}=\frac{3}{5}[/tex], maka tentukanlah hasil dari [tex]\frac{tan\frac{1}{2}(A+B) }{tan\frac{1}{2} (A-B)}[/tex] adalah
2. Penyusunan nomor kendaraan disebuah wilayah di Jakarta adalah sebagai berikut :
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→
I B I I angka I angka I angka I I huruf I huruf I huruf I
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→
Dengan syarat : Huruf B didepan, diikuti 3 angka dari 0 - 9 (angka 0 tidak boleh didepan), angka boleh berulang, sedangkan huruf dibelakang hanya T, S, R, dan U (huruf tidak boleh berulang). Banyak kemungkinan menyusun nomor kendaraan diwilayah tersebut adalah
Nomor 1
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\frac{\tan\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)}{\tan\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)}=\boxed{\,\bf{-4}\,}\end{aligned}$}[/tex]
Nomor 2
Banyak kemungkinan menyusun nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah 21.600 kemungkinan.
Pembahasan
Nomor 1: Trigonometri
Kita memiliki identitas trigonometri:
[tex]\begin{aligned}\bullet\ &\sin A+\sin B=2\sin\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)\cos\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)\\\bullet\ &\sin A-\sin B=2\cos\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)\sin\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)\end{aligned}[/tex]
Maka,
[tex]\begin{aligned}&\frac{\sin A+\sin B}{\sin A-\sin B}\\&{=\ }\frac{2\sin\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)\cos\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)}{2\cos\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)\sin\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)}\\&{=\ }\frac{\sin\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)}{\cos\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)}\cdot\frac{\cos\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)}{\sin\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)}\\&{=\ }\tan\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)\cdot\frac{1}{\tan\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{=\ }\frac{\tan\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)}{\tan\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)}\end{aligned}[/tex]
Oleh karena itu, dengan [tex]\dfrac{\sin A}{\sin B} =\dfrac{3}{5} \implies\sin A=\dfrac{3}{5}\sin B[/tex], kita peroleh:
[tex]\begin{aligned}\frac{\tan\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)}{\tan\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)}&=\frac{\sin A+\sin B}{\sin A-\sin B}\\&=\frac{\dfrac{3}{5}\sin B+\sin B}{\dfrac{3}{5}\sin B-\sin B}\\&=\frac{\dfrac{8}{5}\cancel{\sin B}}{-\dfrac{2}{5}\cancel{\sin B}}\\&=-\frac{8/\cancel{5}}{2/\cancel{5}}\\\therefore\ \frac{\tan\left(\tfrac{1}{2}(A+B)\right)}{\tan\left(\tfrac{1}{2}(A-B)\right)}&=\boxed{\,\bf{-4}\,}\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
Nomor 2: Kaidah Pencacahan
Sesuai spesifikasi nomor kendaraan pada soal, ilustrasi banyak kemungkinan untuk setiap posisi huruf dan angka pada nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah:
[tex]\Large\text{$\begin{aligned}\boxed{1}\ \boxed{9}\boxed{10}\boxed{10}\ \boxed{4}\boxed{3}\boxed{2}\end{aligned}$}[/tex]
- Huruf awal hanya ada 1 kemungkinan.
- Posisi 3 angka di tengah, terdapat 9×10×10 kemungkinan.
- Posisi 3 huruf terakhir, karena tersedia 4 huruf dan tidak boleh berulang, terdapat 4×3×2 kemungkinan.
Sehingga, banyak kemungkinan menyusun nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah:
1×9×10×10×4×3×2
= 9×100×24
= 21.600 kemungkinan.
[tex]\blacksquare[/tex]
[answer.2.content]
